TEORIA DELLE PROBABILITÀ

La "teoria delle probabilità" è quella disciplina che cerca di studiare matematicamente il concetto intuitivo di probabilità.

Molto spesso ci si trova davanti ad avvenimenti casuali, che potrebbero verificarsi, oppure no.
La teoria delle probabilità cerca di dare una risposta precisa alla domanda "Quanto è probabile che accada un determinato evento?"

Per prima cosa occorre imparare un po' di lessico fondamentale:

Probabilità - Definizioni Base

Calcolo delle probabilità in casi semplici

Una volta imparate bene le definizioni, è possibile fare alcuni esempi.

ESEMPIO 1

Devi estrarre casualmente una pallina da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

1 pallina verde

1 palline rosse

1 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre la pallina verde?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo una pallina verde"

In totale nel sacchetto ci sono 1 + 1 + 1 = 3 palline, ed estraendo a caso è possibile pescare una qualsiasi di queste 3 palline, pertanto tutte le possibilità sono 3.

Casi possibili: 3

Nel sacchetto c'è una pallina verde, che corrisponde all'unico caso favorevole.

Casi favorevoli: 1

La probabilità dell'evento E - P(E)) corrisponde al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibli

P(E)=1/3 ≈ 0.33

ESEMPIO 2

Devi estrarre casualmente una pallina da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

10 pallina verde

5 palline rosse

3 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo una pallina rossa"

In totale nel sacchetto ci sono 18 + 5 + 3 = 18 palline, ed estraendo a caso è possibile pescare una qualsiasi di queste 18 palline, pertanto tutte le possibilità sono 18.

Casi possibili: 18

Nel sacchetto ci sono 5 palline rosse, che corrispondono a 5 casi favorevoli.

Casi favorevoli: 5

La probabilità dell'evento E - P(E)) corrisponde al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibli

P(E)=5/18 ≈ 0.28

ESEMPIO 3

Devi estrarre casualmente una pallina da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

15 pallina verde

8 palline rosse

7 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre una pallina verde oppure blu?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo una pallina verde oppure blu"

In totale nel sacchetto ci sono 15 + 8 + 7 = 30 palline, ed estraendo a caso è possibile pescare una qualsiasi di queste 30 palline, pertanto tutte le possibilità sono 30.

Casi possibili: 30

Nel sacchetto ci sono 15 palline verdi, e 7 palline blu, che corrispondono a 15 + 7 = 22 casi favorevoli.

Casi favorevoli: 22

La probabilità dell'evento E - P(E)) corrisponde al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibli

P(E)=22/30 ≈ 0.73

ESEMPIO 4

Devi estrarre casualmente una carta da un mazzo da 52 carte.

Qual è la probabilità di estrarre un'asso?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo un asso"

In totale le carte sono 52, ed estraendo a caso è possibile pescare una qualsiasi di queste, pertanto tutte le possibilità sono 52.

Casi possibili: 52

Nel mazzo ci sono 4 assi, uno di cuori, uno di denari, uno di picche, uno di fiori.

Casi favorevoli: 4

La probabilità dell'evento E - P(E)) corrisponde al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibli

P(E)=4/52 ≈ 0.07

ESEMPIO 5

Devi estrarre casualmente due palline da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

22 pallina verde

10 palline rosse

8 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre prima una pallina rossa e poi una blu, reinserendo le palline estratte dopo ogni estrazione?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo prima una pallina rossa e poi blu"

Per calcolare la probabilità di questo eventi bisogna considerare separatamente i due eventi da cui è formato:

A: "Viene estratta una pallina rossa"

B: "Viene estratta una pallina blu"

Per calcolare la probabilità dell'evento E, bisogna calcolare le probabilità degli eventi A e B e moltiplicarle.

P(A) = 10/40 = 0.25

P(B) = 8/40 = 0.2

Ora è possibile moltiplicare tra loro i risultati

P(E) = P(A) x P(B) = 0.25 x 0.2 =0.05

ESEMPIO 6

Devi estrarre casualmente due palline da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

8 pallina verde

5 palline rosse

2 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre prima una pallina rossa e poi una verde, senza reinserire le palline estratte dopo ogni estrazione?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo prima una pallina rossa e poi verde"

Per calcolare la probabilità di questo eventi bisogna considerare separatamente i due eventi da cui è formato:

A: "Viene estratta una pallina rossa"

B: "Viene estratta una pallina verde"

Per calcolare la probabilità dell'evento E, bisogna calcolare le probabilità degli eventi A e B e moltiplicarle.

P(A) = 5/15 ≈ 0.33

Nel calcolare la probabilità dell'evento B, bisogna tenere presente che è stata estratta una pallina rossa dal sacchetto, pertanto ora i casi possibili non sono più 15, ma sono diventati 14.

P(B) = 8/14 ≈ 0.57

Ora è possibile moltiplicare tra loro i risultati

P(E) = P(A) x P(B) = 0.33 x 0.57 ≈ 0.19

ESEMPIO 7

Devi estrarre casualmente due palline da un sacchetto.
Nel sacchetto ci sono:

5 pallina verde

3 palline rosse

2 palline blu

Qual è la probabilità di estrarre prima una pallina rossa e poi un'altra rossa, senza reinserire le palline estratte dopo ogni estrazione?

Risposta

Per prima cosa occorre definire il nostro evento:

E: "Estraggo prima una pallina rossa e poi un'altra pallina rossa"

Per calcolare la probabilità di questo eventi bisogna considerare due volte l'evento

A: "Viene estratta una pallina rossa"

tenendo presente che tale evento viene ripetuto due volte, in tempi differenti.

Per calcolare la probabilità dell'evento E, bisogna calcolare le probabilità dell'evento A durate la prima estrazione, e durante la seconda estrazione.

P(A) = 3/10 = 0.3

Nel calcolare la probabilità dell'evento A durante la seconfa estrazione, bisogna tenere presente che è stata estratta una pallina rossa dal sacchetto, pertanto ora i casi possibili non sono più 15, ma sono diventati 14, e i casi favorevoli non sono più 6, ma sono 5, dato che la pallina tolta dal sacchetto è proprio rossa.

P(B) = 2/9 ≈ 0.22

Ora è possibile moltiplicare tra loro i risultati

P(E) = P(A) x P(B) = 0.3 x 0.22 ≈ 0.06

ESERCIZI

Esercizi interattivi sul calcolo delle probabilità