LE PROPORZIONI

Spesso, soprattutto nel linguaggio scientifico, si sente parlare di quantità o grandezze che sono proporzionali tra loro, o che sono in una certa proporzione, in assoluto o in relazione a qualcos’altro. Questi termini sconfinano anche nel linguaggio di tutti i giorni, e sono espressioni usate sin dai tempi più remoti: ma che cos’è una proporzione?

Diciamo che le quantità

La scritura qui sopra si legge “ $A$ sta a $B$ come $C$ sta a $D$ ”.

Le quantità coinvolte in una proporzione si dicono termini, e siccome è importante il loro ordine, si chiamano primo, secondo, terzo e quarto termine.

Il primo e il quarto termine si dicono termini estremi.

Il secondo e il terzo termine si dicono termini medi.

Esempio

In questa proporzione, 4 e 3 sono gli estremi, mentre 2 e 6 sono i medi.
Si osserva che

4 : 2 = 2

e

6 : 3 = 2

I due rapporti sono uguali, pertanto la proporzione è soddisfatta.

PROPORZIONI - DEFINIZIONI FONDAMENTALI

Le proporzioni godono di alcune proprietà:

PROPORZIONI - PROPRIETÀ

A questo punto è naturale chiedersi: "A che cosa servono le proporzioni?"

Le proporzioni servono a risolvere numerosi problemi tipici della vita quotidiana; vediamo alcuni esempi:

ESEMPIO 1

Ieri sono andato al bar, e ho mangiato due panini pagando 6 euro. Oggi ho tanta fame, e vorrei mangiare 3 panini. Quanto dovrò pagare?

Questo problema lo si può risolvere impostando e risolvendo una proporzione:

2 : 6 = 3 : X

"Se per 2 panini ho pagato 6 euro, allora per 3 panini dovrò pagare X euro"

SOLUZIONE:

Per risolvere basta applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni

2 • X = 6 • 3

A questo punto risulta che

X = (6 • 3) : 2

X = 9

Dovrò pagare 9 euro.

ESEMPIO 2

I miei amici vengono a mangiare pranzo a casa mia. In totale saremo in 7.
Io so che per 4 persone bisogna cuocere 320 gr. di pasta.
Quanta pastà dovrò cuocere per 7 persone?

Questo problema lo si può risolvere impostando e risolvendo una proporzione:

320 : 4 = X : 7

"Se per 320 gr. di pasta sono sufficienti per 4 persone, allora per X gr. di pasta saranno sufficienti per 7 persone"

SOLUZIONE:

Per risolvere basta applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni

4 • X = 320 • 7

A questo punto risulta che

X = (320 • 7) : 4

X = 560

Dovrò cuocere 560 gr. di pasta.

ESEMPIO - PROPRIETÀ DEL COMPORRE

(4 – X) : X = 12 : 4

Applico la proprietà del comporre

(4 – X + X) : X = (12 + 4) : 4

4 : X = 16 : 4

Applico la proprietà fondamentale

16 • X = 4 • 4

X = (4 • 4) : 16

X = 1

ESEMPIO - PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE

(8 + X) : X = 5 : 3

Applico la proprietà del comporre

(8 + X – X) : X = (5 – 3) : 3

8 : X = 2 : 3

Applico la proprietà fondamentale

2 • X = 8 • 3

X = (8 • 3) : 2

X = 12

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