Le quadriche sono le superfici dello spazio corrispondenti a equazioni di secondo grado.

La sfera

Ricordiamo che la circonferenza è il luogo dei punti del piano aventi tutti la stessa distanza (chiamata raggio) da un punto fisso (chiamato centro).

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Circonferenza di centro C=(α; β). In questo esempio α=3, β=2

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Rimanendo ancora nel piano x-y, ricordiamo pure che grazie al teorema di Pitagora otteniamo la ben nota equazione della circonferenza avente centro C=(α; β) e raggio r:

[ ( x - alpha )^2 + ( y - beta )^2 = r^2 ]

E nel caso particolare in cui il centro coincide con l'origine degli assi cartesiani si ha:

[x^2 + y^2=r^2 ]

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Passiamo allo spazio 3D. La sfera è il luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso.

Sfera di centro C=(α; β; γ)

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Utilizzando (due volte) il teorema di Pitagora si ottiene l'equazione generale: se il centro è C=(α; β; γ) ed il raggio è r, l'equazione della sfera è:

[ ( x - alpha )^2 + ( y - beta )^2 + ( z - gamma )^2= r^2 ]

Nel caso particolare in cui il centro coincide con l'origine degli assi cartesiani si ha:

[x^2 + y^2 + z^2 = r^2 ]

Le superfici cilindriche

Prova a rappresentare con GeoGebra 3D un'equazione che richiami la nota equazione della parabola (passante per l'origine e simmetrica rispetto all'asse y) y = a x².

Dando ad a per esempio il valore 0.2 si ottiene la superficie rappresentata nella seguente figura:

Superficie cilindrica y = 0,2 x^2

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Una superficie la cui equazione di secondo grado, come nel caso sopra illustrato, contenga soltanto due variabili è detta superficie cilindrica.

La superficie cilindrica (o cilindro indefinito) probabilmente più familiare è quella ottenuta con un'equazione del tipo x² + y² =r² :

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I paraboloidi

Prova a rappresentare con GeoGebra 3D un'equazione del tipo z = x² + y². Si otterrà un paraboloide ellittico (in questo caso specifico è un paraboloide circolare):

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..E

Un esempio nella realtà in cui è usata la forma del paraboloide è nell'antenna radiotelevisiva.

Antenna parabolica per la ricezione dei segnali radiotelevisivi

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La proprietà più importante del paraboloide, sfruttata nell'antenna parabolica, nei telescopi a riflessione, etc., è quella di riflettere focalizzando in un unico punto ("fuoco") tutti i raggi o i segnali che giungono parallelamente all'asse di simmetria.

Un altro tipo di paraboloide è il paraboloide iperbolico. La sella da fantino ha tale conformazione:

Sella da fantino: la parte centrale, che sale avanti e dietro il fantino e scende ai suoi lati, è un paraboloide iperbolico

[i]

immagine .

L'ellissoide

Rappresentiamo infine un'equazione che richiama l'ellisse ma ggiungendo anche il termine in z:

[frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1 ]

La superficie ottenuta è quella dell'ellissoide.

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Nel caso in cui l'ellissoide si possa ottenere dalla rotazione di un'ellisse intorno a uno dei suoi assi di simmetria, si ottiene un particolare tipo di ellissoide: l'ellissoide di rotazione. Un esempio di tale superficie è il pallone da rugby:

Pallone da rugby: ellissoide di rotazione

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AA

Altre quadriche

Sul Manabile o sul Manomix puoi trovare le altre superfici di 2° grado: la superficie conica e l'iperboloide.